На первый взгляд между математикой и юриспруденцией нет ничего общего, но это не так. Математика «присутствует везде», поэтому при решении задач юридического характера осознанно или неосознанно юристы используют достижения математики. Разумеется, если использовать достижения математики осознанно, то эффективность решения юридических задач увеличится.

Для абсолютного большинства математика — это сплошные непонятные формулы, сложнейшие расчеты и т.п., но это не верно (не нужно путать язык математики с ее сутью). Бесспорно, математика является сложнейшей наукой, но непонимание сути математики связано с непониманием ее элементарных основ.

Простой пример: даже школьники начальных классов знают, что на ноль делить нельзя, но стоит задать вопрос: почему? и уверен, что большинство верно ответить не сможет, а это базовая, элементарная часть математики.

Обоснование простое: любой объект, например яблоко, можно теоретически и/или практически разделить на несколько частей, например на 2, на 3, на 10 и т.п. Ноль же представляет собой «пустоту», «ничего». Так вот на ноль делить нельзя потому, что объект нельзя поделить так, чтобы от него ничего не осталось, т.е. выражаясь языком математики, поделить на ноль.

Все просто, не правда ли? Нужно лишь уловить суть.

Таинственность математики и заблуждение большинства о том, что математике нет применения на практике связано с непонимаем ее сути и элементарных основ. Зачем математика была бы нужна, если бы она не имела практического применения? В умелых руках математика является мощным инструментом решения задач, в том числе юридических.

Математика в гораздо большей степени претендует на истину, нежели любая другая наука. Законы математики действуют независимо от времени, места и т.п. факторов. К примеру, часть целого никогда и нигде больше целого быть не может.

По степени точности математику можно сравнить с физикой, которая тоже относится к точным наукам, но физика заметно уступает математике в точности. На примере общеизвестного закона тяготения покажем, что некоторые законы физики можно считать законами весьма условно.

Во-первых, закон тяготения действует не везде (космос). Во-вторых, закон тяготения основан на эксперименте (предметы всегда падают на землю) и невозможно доказать, что в следующий момент времени (через секунду, день или месяц) закон тяготения будет действовать также. Не хотелось бы никого шокировать, но нет никаких гарантий того, что завтра брошенный предмет упадет на землю, а не полетит вверх, вбок или вовсе останется на месте и т.п.

Юриспруденция же вряд ли может претендовать на звание точной науки, в том числе в связи со следующим:

1) Действие законов зависит от большого количества факторов: время, место, юридическая сила и др.;

2) Одним из основных принципов закона является справедливость, а это весьма субъективное понятие, у каждого субъекта свое представление о справедливости;

3) Одним из основных инструментов закона является слово, но слова и их совокупности могут иметь разное значение, могут по-разному толковаться и т.п.

Вместе с тем, определенная степень точности в юриспруденции все-таки присутствует, а значит, достижения математики можно использовать и в юриспруденции.

Рассмотрим несколько примеров, свидетельствующих о пользе математики для юриспруденции:

1) Математика помогает мыслить абстрактно, выделять главное, находить общее и т.п., что необходимо для качественного и быстрого решения задач, в том числе юридических.

К сожалению, далеко не каждый юрист в полной мере понимает суть важнейшего принципа: «важно лишь то, что можно доказать». Невозможно надлежащим образом применять данный принцип на практике, не умея мыслить абстрактно, чему, в первую очередь, и учит математика;

2) Вряд ли кто-то будет спорить, что анализ и логика являются важнейшими инструментами юриста. Без анализа и четких логических построений не обойтись при решении юридических задач от консультирования до обжалования решений судов;

3) Теория вероятностей также используется юристами. Достаточным будет упоминание того факта, что перед любым судебным разбирательством существует лишь вероятность вынесения того или иного решения судом. Ни о какой стопроцентной победе в суде абсолютно по любому судебному спору говорить не приходится. Другой вопрос, что по многим делам исход судебного процесса вполне предсказуем;

4) Пусть и неосознанно, но юристы рассчитывают математическое ожидание исхода дела, например судебного. Проще всего пояснить на примере:

Цель: взыскать денежные средства. В данном случае добросовестный юрист примерно рассчитает математическое ожидание вероятного исхода дела и доложит его доверителю. Данное математическое ожидание зависит от множества факторов, некоторые из которых очень приблизительны: размер госпошлины, размер вероятных судебных расходов, цена иска, вероятность удовлетворения иска и его фактического исполнения и т.п.

Чем выше цена иска, вероятность удовлетворения иска и его фактического исполнения, тем разумнее обращение в суд и наоборот. Пример заключения о математическом ожидании от исхода судебного дела: гражданин А. вправе рассчитывать на компенсацию морального вреда в размере от 5 до 15 тыс. руб.

Распространенным заблуждением является то, что юристы – это гуманитарии, а значит, математика им ни к чему. Подобные утверждения опровергаются следующими обстоятельствами:

1) Аналитический (математический) склад ума является одним из главных требований, предъявляемых к юристам.

2) Технический прогресс может «оставить за бортом» большое количество юристов, не понимающих и/или игнорирующих достижения математики. Без соответствующих достижений в области математики технический прогресс не был бы возможен.

Появление новых технологий, непрерывное совершенствование технологий облегчает жизнь человека, но предъявляет к соответствующим специалистам все более жесткие требования, заставляет их непрерывно совершенствоваться, а также приводит к сокращению некоторых специалистов (иногда массовому).

Технический прогресс не обошел стороной и юристов. Нравится это кому-то или нет, но в ближайшем будущем сокращение общего числа юристов неизбежно, в том числе из-за создания роботов-юристов.

По мнению автора, по ряду причин роботы-юристы никогда в полной мере не заменят человека-юриста, но углубляться в данном вопросе не будем, т.к. это отдельная тема для статьи. Вместе с тем, роботы-юристы станут отличными помощниками, т.к. некоторые операции робот способен выполнять намного эффективнее (быстрее и качественнее) человека (составлять типовые документы, подбирать судебную практику, рассчитывать сроки и суммы и т.п.).

При этом максимально эффективно использовать роботов-юристов (совершенствовать их) можно только в том случае, если иметь представление о том, как именно они работают (как минимум, понимать их слабые и сильные стороны). Без понимания азов математики сделать это будет проблематично. Таким образом, достижения в области математики оказывают существенное влияние на развитие других наук и юриспруденция не исключение. Юристам-профессионалам будет все сложнее «удерживаться на плаву» без понимания основ математики.



В данной статье говорится о том, как же важна математика для юриста, а многие даже этого не подозревали.

Ключевые слова: математика, юриспруденция, формализация.

Известно, что юристы, как и все гуманитарии, не дружны с математикой. Многие правоведы, когда их спрашивают о выборе юридического образования, шутливо ссылаются на отсутствие математики среди учебных дисциплин в юридических вузах.

В этой шутливости есть некая незамысловатая правда, как бы нам ни хотелось ее отрицать — ум стремится в ту среду, в которой чувствует себя комфортно.

Но так ли несовместимы математика и юриспруденция? Мы привыкли полагать, что ум гуманитария насыщен образами. Лучшие адвокаты добиваются своих блестящих побед в судебных процессах, опираясь во многом на эмоциональное возбуждение аудитории и суда. И здесь я во всех приведенных и многочисленных не приведенных примерах с неизбежностью помимо эмоциональности обнаружим холодный ум, точность, расчет, проверенность, взвешенность, системность, то есть все то, что характеризует математическую рефлексию (переосмысление). Это неотъемлемая часть юридического мышления, представленная в нем в необходимой пропорции.

Я не говорю о том, что математика необходима юристу как исключительно специальное знание, как способность к высшему математическому оперированию, к математическому творчеству, я говорю о развитии философско-математических алгоритмов мышления, о знакомстве с природой математики, о принципах математического рассуждения, ее интеллектуальных методах постижения закономерностей бытия.

Математическое знание- необходимая составляющая общекультурной концепции правоведов. Ценность этой составляющей в выработке склонности, способности к математическому обоснованию, подтверждению, проверке интуитивно улавливаемой юристом пропорции справедливости, равновесия, гармонии социальных отношений. Иными словами, математика необходима для выработки дисциплинированного, строго последовательного, обоснованного, объективного мышления юриста.

В юриспруденции, как и в математике, применяются одни и те же методы рассуждений, цель которых — выявить истину. Любой правовед, как и математик, должен уметь рассуждать логически, уметь применять на практике индуктивный и дедуктивный методы (вспомните Шерлока Холмса). Поэтому, занимаясь математикой, будущий правовед формирует свое профессиональное мышление.

Наконец, применение математических методов расширяет возможности каждого специалиста. В юридической практике важную роль играет статистика, умение правильно обработать информацию, сделать достоверный вывод или прогноз на основании имеющегося статистического материала. Ценность специалиста существенно возрастает, если он умеет делать все это.

К сожалению, об аргументах в пользу широкого применения математических средств и методов и о тесной взаимосвязи количественного анализа с качественным в юридических науках порой забывают. При этом ссылаются на сложность, социальный характер нормативно-правовых и иных связанных с ними систем, явлений и процессов; указывают на то, что юристы в процессе своей повседневной деятельности имеют дело с фактами не только объективного, но и субъективного порядка, трансформация которых в математическую форму не всегда может осуществляться в рамках положений и аксиом высшей и прикладной математики; отмечают невозможность математизации всех явлений правовой реальности.

Общеизвестно, что объекты, изучаемые юридическими науками, действительно социальные, многомерные по своей природе и чрезвычайно сложные. Однако вопрос заключается в другом. Информатизация всех сторон жизни нашего общества, усложнение хозяйственных и социальных связей в условиях рыночных отношений вызывают естественное усложнение систем в сфере юридической деятельности. Это требует всестороннего, в том числе количественного, математического анализа отдельных правовых и связанных с ними систем, явлений и процессов в области государственного управления, правового регулирования предпринимательства, информационного обеспечения в области права, криминологии, информационного права, криминалистики и т.д. Социальный характер информационных правовых систем, явлений и процессов не может служить препятствием для разумного применения математических методов в юридических науках.

Сегодня активно используются теория вероятностей, математическая статистика, теория информации, математическая логика, теория графов, теория игр, линейное и динамическое программирование и другие разделы современной математической науки.

В юридической сфере наметилось определенное число проблем и задач, не имеющих формально-алгоритмической разрешенности. Поэтому пока нет возможности, да, вероятно, и необходимости формализовать, например, правовую систему общества в целом, ее структуру, функции, все потоки социально-правовой информации, задачи правового регулирования, так как все общественные системы, явления и процессы, в том числе и правовые, нельзя описать языком математики. И это, собственно говоря, не нужно. Главное, как справедливо в свое время заметил Джанггир Аббасович Керимов, — это решение с помощью математических средств и методов частных проблем и задач юридической науки в целях дальнейшего совершенствования юридической деятельности в целом. Речь идет об использовании математических методов для исследования отдельных юридических систем, в связи с созданием в области права Автоматизированной Системы Управления; о применении количественных методов к анализу правовых проблем социально-экономического планирования, рационального использования трудовых ресурсов, измерения правовых установок, эффективности правовой информации и в статистической криминалистике.

В то же время при всех достоинствах математизации юридической науки и права нельзя преувеличивать ее возможности и сводить сущность государственно-правовых проблем к чистой математике.

Ведущая роль в юридических науках принадлежит качественному анализу. Использование здесь математических средств и методов ориентировано в настоящее время, по существу, на решение частных практических проблем и задач. Математические средства и методы исследования правовых систем ограничиваются только измерением однородных связей данных систем; им недоступны всеобщие связи правовой системы общества в целом в силу их универсальности.

Математика, оставаясь вспомогательным средством познания, не подменяет юридические науки в их детальном содержательном анализе государственно-правовых проблем, а наоборот, позволяет дополнить их для более глубокого познания юридической реальности.

Литература:

1. Керимов Д.А. Общая теория государства и права (предмет, структура и функции). М., 1977.
2. А.В. Маркин «Нужна ли юристу математика» ТГУ
3. Ивин А.А. «Логика норм и теория права» 1973

Страницы ← предыдущая следующая → 1 2 3 4 Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р., Хоменко Ю.А. ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ для юристов для студентов очной, заочной и дистанционной форм обучения Шахты 2006 -2- …Человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства. Роджер Бэкон (1214–1292) Лекция 1 ЗАЧЕМ ЮРИСТУ НУЖНА МАТЕМАТИКА1 Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных реальному бытию, она создает постоянно развивающиеся теории, пригодные для самых различных вопросов естествознания и техники. Именно это позволяет применять математические методы, разработанные при решении задач одной области науки, к совершенно непохожим на них задачам, относящимся к совсем иным областям зна- ния. Так называемые «гуманитарии», к коим относят и юристов, – это люди, мысленно распрощавшиеся с математикой, едва закончив школу. Почему же вдруг вновь приходится обращаться к математике? Почему она включена в государственные образовательные стандарты юридических специальностей? В настоящее время происходит математизация научного знания. Огромное значение математики в гуманитарных науках – признанный факт. Можно выделить несколько причин этого явления: 1. Математика – часть общечеловеческой культуры, приобщение к которой – важ- ная составная часть любого образования. 2. Изменилось мнение о познавательном потенциале математики. Любая гумани- тарная наука изучает некоторую общность объектов, свойства и отношения, присущие им. К исследовательскому аппарату гуманитарных наук подключается исключительно эффек- тивный математический аппарат. Тот, кто не владеет математикой, не способен проник- нуть в глубинные структурные отношения сложных динамически меняющихся объектов. Математическое моделирование теперь признается обязательным этапом, предшествую- щим принятию ответственного решения во всех сферах человеческой деятельности. 3. Математика является мощным средством развития интеллекта и, в частности, самого профессионального мышления гуманитариев. Люди, которым приходится в том или ином качестве иметь дело с юристами, вправе рассчитывать на то, что они обращаются к профессионалам, т.е. к тем, кто имеет качественную специальную подготовку и обладает высокоразвитым интеллектом. Математика (или ее элементы) на всех этапах формирова- ния личности помимо прочих задач выполняет задачу развития интеллекта, и в этом каче- стве она незаменима. Замечательный польский математик Гуго Штейнгауз (1887–1972) любил повторять полушутя-полусерьезно: «Математик справится лучше». Смысл, кото- рый он вкладывал в эти слова, состоял в следующем: если одну и ту же проблему поставить перед представителями различных профессий, в чем-то необычную, нестандартную или не- знакомую им всем, то математик с ней справится лучше. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Понятие множества является ключевым в математике, без которого невозможно изложение ни одного из ее разделов. Язык теории множеств, включающий большое число различных понятий и связей между ними, широко используется в математической литера- туре. Поэтому надо понимать этот язык и уметь им пользоваться. 1 Математика (греч. Mathematike) – происходит от mбthema — знание, наука. -3- 1. Основные понятия. В математике понятие множества и элемента множества считаются первичными, не определяемыми через другие понятия (воспринимаемыми интуи- тивно). Тот факт, что объект x является элементом множества A , записывается, как x ∈ A . Знак ∈ называют знаком включения. Запись x ∉ A (или x ∈ A ) означает, что x не является элементом множества A . Будем считать, что мы выбрали и зафиксировали достаточно широкое множество, за пределы которого не будем выходить. Элементы всех множеств, которые мы будем рассмат- ривать, одновременно являются элементами этого широкого фиксированного множества, на- зываемого универсальным множеством (для этого множества будем применять обозначение E ). Говорят, что множество A задано, если относительно любого элемента x ∈ E мож- но сказать, принадлежит он или не принадлежит множеству A . Обычно множество задается указанием характеристического свойства его элементов, т.е. такого свойства, которым обла- дают все элементы данного множества и только они. Множество A элементов x , обладаю- щих свойством P (x ) 2, символически записывают в виде A = {x : P ( x )} . Например, за- пись A = {x : x = 2k , k = 1,2,…} означает, что множество A состоит из четных поло- жительных чисел 2, 4, 6, 8, … . Множество A называют подмножеством другого множества B , если каждый эле- мент множества A является одновременно элементом множества B . В этом случае пишут A ⊂ B или B ⊃ A . Знаки ⊂ и ⊃ также называют знаками включения. Пример. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных (веществен- ных) чисел. Имеет место такое последовательное включение: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Множества A и B называются равными (пишут A = B) , если A ⊂ B и B ⊂ A , т.е. если эти множества состоят из одних и тех же элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅ . Примерами пустых множеств являются: множество треугольников, длины сторон ко- торых равны 2см, 3 см, 7 см; множество рациональных чисел, квадрат которых равен 2; мно- жество решений системы уравнений x + y = 1 , x + y = 2. Принято считать, что пустое множество принадлежит в качестве подмножества лю- бому множеству; очевидно, также A ⊂ A . A и ∅ называют несобственными подмноже- ствами множества A , все остальные подмножества множества A называют собственными. Для рассуждений о множествах полезно привлечь наглядные схемы, называемые диа- граммами Эйлера (или Эйлера-Венна). Объединением (иногда говорят – суммой) множеств A и B называют множество, со- стоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B : A ∪ B = {x : x ∈ A или x ∈ B} . В теории вероятностей используют обозначение A+ B. 2 Здесь P(x) – (одноместный) предикат, а именно, связное повествовательное предложение, содержащее пере- менную и обладающее свойством превращаться в высказывание (т.е. принимать значение истинности во мно- жестве {0;1}) при подстановке вместо переменной любого конкретного значения. -4- B A B A A⊂ B A∪ B Понятие объединения обобщается на случай бесконечного числа множеств. Если да- ны множества A1 , A2 ,…, An ,… , то символическая запись ∞ UA n n =1 означает объединение данных множеств, т.е. множество, каждый элемент которого принад- лежит хотя бы одному из данных множеств. Пример 1. Объединение множества положительных четных чисел и множества поло- жительных нечетных чисел есть множество натуральных чисел. Пример 2. {0,1,3,5} ∪ {1,2,3,4} = {0,1,2,3,4,5}. Пример 3. Начерчен отрезок MN длиной 2 см. Рассматривается на плоскости мно- жество всех вершин таких равнобедренных треугольников с основанием MN , площади ко- торых не меньше, чем 1 см2. Это множество является объединением двух хорошо известных вам фигур. Каких? (Ответ. Объединение двух лучей, перпендикулярных к MN ; расстояние от начала каждого луча до MN равно 1 см). Пример 4. Каждый треугольник мы себе будем представлять как множество точек, лежащих внутри этого треугольника или на его границе. Что собой представляет объедине- ние всех правильных треугольников, вписанных в данную окружность? (Ответ. Круг, огра- ниченный данной окружностью). Пересечением (иногда говорят – произведением) множеств A и B называют множе- ство всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству A и множеству B , т.е. множество всех их общих элементов: A ∩ B = {x : x ∈ A и x ∈ B} . В теории вероятно- стей принято обозначение AB . Для бесконечного набора множеств A1 , A2 ,…, An ,… символ ∞ IA n n =1 обозначает их пересечение, т.е. множество, каждый элемент которого принадлежит всем данным множествам. B A B A A\B A∩ B -5- Пример 5. {0,1,3,5} ∩ {1,2,3,4} = {1,3}. Пример 6. Пусть A – множество всех прямоугольников, B – множество всех ромбов. Что собой представляет множество A ∩ B ? (Ответ. Множество всех квадратов). Пример 7. Будем себе представлять каждый прямоугольник как множество, а именно – как множество всех точек, принадлежащих его контуру или лежащих внутри него. Какую фигуру образует пересечение всех прямоугольников, вписанных в данную окружность? (От- вет. Центр круга). Разностью множеств A и B называют множество тех элементов из A , которые не содержатся в B : A \ B = { x : x ∈ A и x ∉ B}. Разность E \ A , где E – универсальное множество, называется дополнением мно- жества A и обозначается символом A . 2. Формула включений и исключений. Для конечного множества A через n( A) обозначим число его элементов. Число элементов пустого множества, очевидно, равно нулю. Для любых конечных множеств A и B справедливо равенство n( A U B) = n( A) + n( B) − n( A I B) , (1) называемое формулой включений и исключений. Действительно, пусть множества A и B не пересекаются, т.е. n( A I B) = 0 . Их объе- динение получается добавлением к элементам одного множества всех элементов другого множества, поэтому n( A U B ) = n( A) + n( B) . Если же пересечение множеств A и B не пусто, то число их общих элементов равно n( A I B) . Объединение этих множеств образуется до- бавлением к элементам множества A всех тех элементов множества B , которые не входят в A . Число таких элементов равно n( B) − n( A I B) . Таким образом, формула (1) доказана. Пример. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти полу- чили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4? ∆ Пусть A – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, B – множество абиту- риентов, получивших оценки ниже пяти. По условию n( A) = 210 , n( B) = 180 , n( A U B) = 250 . Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество A I B . По формуле (1) нахо- дим n( A I B) = n( A) + n( B) − n( A U B) = 140 . ▲ Пример. В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47 зна- ют английский язык, 35 – немецкий и 23 – оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языков? ∆ Имеем: n( A) = 47 , n( B) = 35 , n( A ∩ B) = 23 ⇒ n( A ∪ B ) = 47 + 35 − 23 = 59 – число знающих хотя бы один язык; n( A ∪ B) = 67 − 59 = 8 – не знают оба языка. Отв. 8 человек. ▲ 3. Декартово произведение. Пусть X и Y – произвольные множества. Пару ( x, y ) элементов x ∈ X , y ∈ Y , взятых в указанном порядке, будем называть упорядоченной па- рой, считая при этом, что ( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ) тогда и только тогда, когда x1 = x2 , y1 = y2 . Декартовым произведением X × Y двух множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар ( x, y ) : X × Y = {( x, y ) : x ∈ X , y ∈ Y } . Пусть, например, R – множество всех вещественных чисел. Тогда декартов квадрат R 2 = R × R есть просто множество всех декартовых координат точек плоскости относи- тельно заданных координатных осей. Аналогичным образом можно было бы ввести декарто- -6- во произведение X1 × X 2 × X 3 трех множеств, четырех и т.д. При X 1 = … = X n = X пишут сокращенно Xn вместо 1×… ×3 X4 4 2 X и говорят об n -й декартовой степени множе- n раз n ства X . Элементами X являются упорядоченные наборы ( x1 ,…, xn ) . ОТОБРАЖЕНИЯ (ФУНКЦИИ). РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА 1. Общие понятия. Мы говорим, что задано отображение f множества X во множество Y , и пишем f : X → Y , если каждому элементу x из области определения X сопоставлен однозначно определенный элемент y = f (x) из области действия Y , на- зываемый образом элемента x при отображении f (такое сопоставление символически принято обозначать так: x a f (x ) ). При этом не исключается возможность, что одному элементу y ∈ Y отвечает при отображении f несколько элементов xi ∈ X , таких, что f ( xi ) = y . Подмножество {xi } ⊂ X всех таких элементов называется прообразом эле- мента y ∈Y при отображении f и обозначается f −1 ( y ) , т.е. f −1 ( y ) = {x ∈ X : f ( x) = y} . Вместо термина «отображение» часто употребляют термин «оператор» (особенно в функциональном анализе и линейной алгебре), а также «функция» (особенно в случае, когда Y – числовое множество). Отображение f : X → X называют также преобразованием множества X (в себя). Графиком функции f : X →Y называется множество пар вида ( x, f ( x)) , x∈ X . 2. Композиция функций (сложная функций). Пусть f : X → Y , g :Y → Z . Композицией (или суперпозицией) функций f и g называется функция, обозначаемая go f :X →Z и определяемая следующим равенством: def ( g o f )( x) = g ( f ( x)) . Правая часть этого равенства показывает, что значение композиции в точке x вычисляется в результате последовательного действия сначала f , а затем (на полученный результат) функции g . Пример. Пусть f :R→ R и f ( x) = sin x , g : R → R и g ( x) = x 2 . Тогда ( g o f )( x) = sin 2 x , ( f o g )( x) = sin ( x 2 ) . Попутно мы доказали, что во множестве функций, на которых определены и f o g и g o f , композиция не является коммутатив- ной операцией. 3. Типы отображений. Определение. Отображение f : X → Y называется сюръективным (или отображе- нием «на»), если каждый элемент из Y имеет, по крайней мере, один прообраз, т.е. f (X ) = Y . -7- Примерами сюръективных отображений f : R → являются функции y = sin x , y = cos x . Определение. Отображение f : X → Y называется инъективным (или вложением), если из x1 ≠ x2 следует f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) , т.е. каждый образ f (x) обладает ровно одним прообразом x . Примерами инъективных отображений f : D (⊂ R ) → R могут служить монотон- ные функции y = log 2 x , y = 3 x , y = x и т.д. Определение. Отображение f : X → Y называется биективным, если оно одновре- менно и инъективно и сюръективно. 4. Обратимость отображений. Пусть f : X → Y . Рассмотрим уравнение, порож- денное отображением f : f ( z) = y , (2) где z (∈ X ) – неизвестное, y (∈ Y ) – параметр. Ясно, что если f инъективно, но не сюръективно, то существуют такие значения па- раметра, при которых уравнение (2) не имеет решений, а для тех значений параметра, при которых у уравнения есть решения, это решение для каждого значения параметра единст- венно. Если f сюръективное отображение, но не инъективное, то уравнение (2) имеет ре- шения при любом значении параметра, и существует хотя бы одно такое значение параметра y , при котором уравнение (2) имеет более одного решения. В случае, когда f – биективное отображение, уравнение (2) имеет при каждом зна- чении параметра единственное решение. В этом случае отображение f определяет другое −1 отображение f : Y → X , которое каждому элементу y ∈ Y ставит в соответствие ре- −1 −1 шение уравнения (2). Это решение обозначается f ( y ) . Отображение f : Y → X на- зывается обратным для отображения f . −1 −1 Нетрудно убедиться, что f ( f ( x)) = x и f ( f ( y )) = y . Определение. Отображение f : X → Y называется обратимым, если существует −1 отображение f : Y → X такое, что ( f −1 o f )( x) = x , ∀x ∈ X , ( f o f −1 )( y ) = y , ∀y ∈ Y . При этом отображение f −1 называется обратным к f . Теорема (критерий обратимости). Для того чтобы отображение f : X →Y было обратимым, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным. Пример. 1) sin : R → R не является обратимым; 2) sin : R → не является обратимым; 3) sin : → R не является обратимым; -8- def 4) sin : → обратим, sin −1 = arcsin . Упражнение. Пусть g : X → Y и f : Y → Z – биективные отображения. Докажи- −1 −1 −1 те, что тогда биективна и их композиция f o g , причем ( f o g ) = g o f . 5. Мощность множеств. Пусть X и Y – два произвольных множества. Естественно поставить вопрос о сравнении множеств по числу элементов. Если множества X и Y конечны, то поставленная задача может быть решена двумя способами. 1. Пересчитаем число элементов в каждом из множеств и сравним результаты. Это по- зволит установить равенство числа элементов в множествах или указать, в каком из множеств элементов больше. Однако можно поступить иначе. 2. Каждому элементу x ∈ X поставим в соответствие один и только один элемент y ∈Y . Если при этом оказывается, что каждый элемент y ∈ Y ставится в соответствие одно- му и только одному элементу x ∈ X , то говорят, что между элементами множеств X и Y установлено взаимно-однозначное соответствие (биективное отображение). Очевидно, что для конечных множеств взаимно-однозначное соответствие можно установить только тогда, когда число элементов в этих множествах одинаково. Очевидно, что, в то время как первый способ (подсчет числа элементов) возможен лишь для сравнения конечных множеств, второй способ (установление взаимно- однозначного соответствия) в одинаковой мере применим как для конечных, так и для бес- конечных множеств. Говорят, что множества X и Y равномощны или имеют одинаковую мощность, если существует биективное отображение (взаимно-однозначное соответствие) X → Y . Отсюда следует, что если два конечных множества равномощны, то они равночисленны. Таким обра- зом, понятие равномощности множеств есть обобщение понятия равночисленности на слу- чай бесконечных множеств. Пусть в множестве X имеется собственное подмножество, равномощное Y , но в Y нет собственного подмножества, равномощного X . Тогда говорят, что мощность множест- ва X больше мощности Y . Для конечного множества его мощность есть число элементов этого множества. Мощность любого бесконечного множества больше мощности любого конечного. Среди бесконечных множеств наименьшей мощностью обладает множество N всех натуральных чисел. Множества той же мощности, что и N , называются счетными. Множе- ство X называется не более чем счетным (дискретным), если оно конечно (в частности, пусто) или счетно. Множества, имеющие одинаковую мощность с множеством R всех дей- ствительных чисел, называют множествами мощности континуум. Пример. Сопоставим каждому числу n число 2n . Тогда получим вложение множе- ства всех натуральных чисел во множество всех натуральных четных чисел. Таким образом, множество всех натуральных чисел равномощно с множеством всех четных (натуральных) чисел. Как показал приведенный пример, вполне может оказаться, что множество равно- мощно со своим собственным подмножеством. На самом деле это характеристическое свой- ство всех бесконечных множеств, т.е. свойство, которое может служить определением таких множеств. Ничего подобного нельзя встретить, рассматривая конечные множества. Мощность множества X называется кардинальным числом этого множества (и обо- значается card X или | X | ). Если X – конечное множество, содержащее n элементов, то card X = n . -9- Никогда не садись в машину к незнакомцу и никогда не играй в игры с математиком Лекция 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Начало науки о законах и формах мышления связывают с именем Аристотеля. Про- шло два тысячелетия, прежде чем Г. Лейбниц предложил ввести в логику математическую символику и использовать ее для общих логических построений. Эту идею последовательно реализовал в XIX в. англичанин Джордж Буль и тем самым заложил основы математиче- ской логики. Математическая логика – современный вид формальной логики, изучающей правила выведения следствий из различных посылок, истинность которых очевидна. Математическая логика возникла в середине XIX в. для потребностей математики и стала применяться в са- мых различных областях знаний, в том числе и в правоприменительной деятельности. 1. Доказательства в математике. Что отличает книгу по математике от книги по ка- кому-то другому предмету? Обилие формул? Но они есть и в книгах по физике, астрономии или мостостроению. Наличие доказательств – вот что, прежде всего, отличает математику от других областей знания. Первую попытку представить в одном труде всю математику предпринял древнегре- ческий ученый Евклид в III в. до н.э. В результате появилась его знаменитая книга «Начала». В ней впервые при изложении основ элементарной геометрии, теории чисел, алгебры и дру- гих разделов античной математики был использован аксиоматический метод. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в том, что некото- рые исходные положения, называемые аксиомами или постулатами, принимаются «без до- казательства», а все утверждения этой теории выводятся из них путем рассуждений. «Начала» Евклида составлены по определенной схеме, сложившейся еще до Евклида в древнегреческой науке: сначала приводятся определения и постулаты, а затем формули- ровки теорем и их доказательства. Некоторые определения в «Началах» Евклида – просто описания исходных понятий. Например: «Точка есть то, что не имеет частей», «Линия же – длина без ширины», «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней». Ясно, что та- кие «определения» вряд ли могут быть использованы в математических доказательствах. Однако наряду с ними имеются определения, являющиеся таковыми и в современном смыс- ле: они «называют» (т.е. вводят) понятия. Например: «Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи неограниченно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются». Вслед за определениями идут постулаты, в которых утверждается возможность выполнения элементарных построений: I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию. II. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по прямой. III. И чтобы из всякого центра и всяким радиусом можно было описать круг. IV. И чтобы все прямые углы были равны между собой. V. И чтобы всякий раз, когда прямая, падающая на две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти прямые пе- ресекаются с той стороны, где эта сумма меньше двух прямых. За постулатами в началах Евклида приводятся аксиомы – предложения о свойствах отношений равенства и неравенства. Вот примеры аксиом: «Равные порознь третьему равны между собой», «И если к равным прибавить равные, то получим равные», «И целое больше части». На основе определений, постулатов и аксиом путем доказательства выводятся но- вые геометрические утверждения – теоремы. Поскольку предполагалось, что геометрия есть описание реального физического про- странства, вполне естественно, что Евклид полагал значение таких понятий, как «точка», «прямая», достаточно ясным, а относящиеся к ним постулаты и аксиомы считал «самооче- видными истинами». — 10 — В дальнейшем совершенствование аксиоматического изложения геометрии шло в ос- новном по пути выявления утверждений, которые использовались Евклидом в доказатель- ствах, но не были сформулированы им явно в виде аксиом. Полностью эта работа была за- вершена лишь в XIX веке немецкими математиками Пашем и Гильбертом. Вместе с тем, много усилий было потрачено на попытки исключить из числа основ- ных допущений V постулат Евклида, который казался слишком сложным, чтобы его можно было причислить к «самоочевидным истинам». Хотя все попытки доказать V постулат на основе отдельных аксиом оказались неудачными, они все же привели к некоторым положи- тельным результатам. А именно, благодаря им был обнаружен ряд геометрических утвер- ждений, эквивалентных V постулату, в частности, следующее: «Через каждую точку, не лежащую на прямой l , проходит в точности одна прямая, параллельная l «. К началу XIX века начало возникать подозрение о недоказуемости V постулата Евк- лида. Это подозрение перешло почти в полную уверенность, когда в 1826 году Лобачевский построил геометрическую теорию, основанную на системе постулатов, в которой V посту- лат Евклида заменен утверждением, несовместимым с ним: «Если на плоскости точка A не лежит на прямой l , то существует более чем одна прямая, проходящая через A и па- раллельная l «. Хотя «истинность» такой аксиомы кажется сомнительной, при выводе след- ствий из нее Лобачевский не встретил каких-либо противоречий. Это, однако, не означало, что противоречия здесь вообще невозможны. Следующим событием на пути укрепления позиций неевклидовой геометрии явилось построение различных моделей геометрии Лобачевского средствами геометрии Евклида. Ти- пичным примером такого рода моделей может служить модель, предложенная немецким математиком Феликсом Клейном в 1871 г. В этой модели основные геометрические поня- тия: плоскость, точка и прямая – интерпретируются соответственно как внутренность какого-нибудь круга в евклидовой плоскости, точка внутри этого круга и хорда этого круга, рассматриваемая без своих концов. В такой интерпретации оказываются истинными все аксиомы геометрии Лобачевского; правда, при этом расстояния и углы измеряются не так, как на обычной евклидовой плоскости, а по правилам, разработанным для проективной гео- метрии. Подробное описание интерпретации Клейна и других моделей геометрии Лобачев- ского можно найти в учебных пособиях по высшей геометрии3. Наличие таких моделей пока- зывает, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида. Построение моделей геометрии Лобачевского имело принципиальное значение для развития аксиоматического метода, поскольку оно привело к осознанию возможности рас- сматривать аксиоматическую теорию чисто формально, т.е. не предполагая заранее ка- кое-либо определенное значение основных понятий. Более того, мы вольны выбирать значе- ния этих понятий каким угодно образом, лишь бы при этом оказывались истинными дан- ные аксиомы. В XIX в. аксиоматический метод получил широкое распространение в математике. Итальянский математик Дж. Пеано (1891 г.) предложил аксиоматику для натурального ряда. Были построены аксиоматические теории для действительных чисел. Наконец, была выработана система аксиом для теории множеств. Особенно широкое распространение формальные аксиоматики получили в современной алгебре, где система аксиом по сущест- ву выступает в роли определения той или иной алгебраической структуры. Вторая попытка (представить в одном труде всю математику) состоялась только в XIXв. , во Франции, когда некто Никола Бурбаки приступил к изданию многотомного трак- тата «Элементы математики». На самом деле математика Никола Бурбаки не существовало. Это коллективный псевдоним группы ученых. Вот какой фразой открывает Бурбаки свой труд: «Со времен греков говорить математика – значит, говорить доказательство». Таким образом, слова «математика» и «доказательство» – почти синонимы. Доказательства встречаются и в других сферах человеческой деятельности, например, в юриспруденции. Однако математические доказательства убедительнее тех, которые можно услышать в суде. Математические доказательства признаются эталоном бесспорности. Что же такое доказательство в математике? Доказательство – рассуждение, которое убеждает нас настолько, что мы готовы убеждать других, используя то же рассуждение. Но несмотря на то, что доказательства постоянно используются в математике, четкого опреде- ления понятия «доказательства» нет. Это можно объяснить следующим образом. Во-первых, 3 См., например, Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Страницы ← предыдущая следующая → 1 2 3 4